LeetCode 热门100题之一：最大子数组和 💡📈

最大子数组和 是 LeetCode 上极受欢迎的一个问题，常被用于测试算法设计与优化能力。本文将详细解析该问题的定义、解题思路、具体实现及优化方法，帮助你深入理解并高效解决这一经典算法题。

问题描述 📜

给定一个 整数数组 nums，找到 一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），并返回其和。

示例：

输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

解题思路 🧠

要解决这个问题，最直观的方法是使用 动态规划，其中 Kadane 算法 是最为高效的方案，其时间复杂度为 O(n)。

Kadane 算法的核心思想是通过遍历数组，记录当前子数组的最大和，并持续更新全局最大和。

关键步骤：

1. 初始化：

   • currentSum：记录以当前元素结尾的子数组的最大和。
   • maxSum：记录全局的最大子数组和。

2. 遍历数组：

   • 对于每个元素，决定是将其加入当前子数组，还是单独作为一个新的子数组。
   • 更新 currentSum 为 max(currentSum + nums[i], nums[i])。
   • 更新 maxSum 为 max(maxSum, currentSum)。

3. 返回结果：

   • 遍历结束后，maxSum 即为所求的最大子数组和。

算法实现 💻

以下是使用 Java 实现的 Kadane 算法示例：

public class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        // 初始化 currentSum 和 maxSum 为第一个元素
        int currentSum = nums[0];
        int maxSum = nums[0];
    
        // 从第二个元素开始遍历
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            // 决定是否将当前元素加入现有子数组
            currentSum = Math.max(nums[i], currentSum + nums[i]);
            // 更新全局最大和
            maxSum = Math.max(maxSum, currentSum);
        }
    
        return maxSum;
    }
}

代码详解 📝

1. 初始化：

   int currentSum = nums[0];
   int maxSum = nums[0];

   • currentSum 和 maxSum 均初始化为数组的第一个元素，确保至少包含一个元素。

2. 遍历数组：

   for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
       currentSum = Math.max(nums[i], currentSum + nums[i]);
       maxSum = Math.max(maxSum, currentSum);
   }

   • 对于每个元素 nums[i]，比较 nums[i] 与 currentSum + nums[i]，选择较大者作为新的 currentSum。
   • 更新 maxSum 为当前的 maxSum 和 currentSum 中的较大值。

3. 返回结果：

   return maxSum;

   • 最终 maxSum 即为最大子数组和。

复杂度分析 📊

• 时间复杂度：仅需遍历一次数组，时间复杂度为 O(n)。
• 空间复杂度：使用常数空间，额外空间复杂度为 O(1)。

示例解析 🔍

让我们通过一个示例更直观地理解算法的工作原理。

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]

过程：

最终结果：maxSum = 6

工作流程图 📈

graph TD;
    A[开始] --> B[初始化 currentSum 和 maxSum 为第一个元素]
    B --> C{遍历数组中的每个元素}
    C -->|是| D[更新 currentSum 为 max(nums[i], currentSum + nums[i])]
    D --> E[更新 maxSum 为 max(maxSum, currentSum)]
    E --> C
    C -->|否| F[结束遍历]
    F --> G[返回 maxSum]

说明：该流程图展示了 Kadane 算法的执行流程，从初始化到遍历数组，再到更新当前和与最大和，直至结束并返回结果。

常见变种与扩展 🔄

最大子数组和 的问题有多个变种，如：

1. 返回子数组本身：

   • 除了返回和，还需返回具体的子数组。可通过记录起始和结束索引实现。

2. 二维数组中的最大子矩阵和：

   • 扩展到二维数组，常用的解法结合 Kadane 算法与前缀和技巧。

3. 最小子数组和：

   • 类似于最大子数组和，但寻找和最小的连续子数组。

总结 🎯

最大子数组和 是一个经典的动态规划问题，通过 Kadane 算法，我们能够以线性时间复杂度高效地解决。掌握此算法不仅有助于应对类似的数组问题，还为理解更复杂的动态规划问题打下坚实基础。

关键点回顾：

• 动态规划 是解决此类问题的核心。
• Kadane 算法 提供了一种简洁高效的方法。
• 理解算法的每一步 有助于灵活应用于各种变种问题。

希望本文能帮助你深入理解 最大子数组和 问题，并在实际编程中游刃有余地应用这一算法！🚀✨