LeetCode238.除自身以外数组的乘积

LeetCode 238: 除自身以外数组的乘积

问题描述

给定一个整数数组 nums，返回一个数组 answer，其中 answer[i] 是 nums 中除 nums[i] 以外其余各元素的乘积。

你必须在 O(n) 时间复杂度内完成此操作，且不能使用除法运算。

示例:

输入: nums = [1, 2, 3, 4]
输出: [24, 12, 8, 6]

解决方案

本题要求我们在不使用除法的前提下，计算每个位置的元素除外的数组乘积，且要求时间复杂度为 O(n)。这需要我们用到巧妙的前缀和后缀乘积的思路。

基本思路是：通过两次遍历，第一次计算每个元素左边的乘积，第二次计算每个元素右边的乘积，最终将两者相乘得到结果。

详细步骤

1. 初始化：

   • 创建一个数组 answer，用来存放结果，长度与 nums 相同，初始值为 1。
   • 创建两个变量 left 和 right，分别用于记录从左到右和从右到左的乘积。

2. 计算左侧乘积：

   • 从左到右遍历 nums，将每个位置的左侧所有元素的乘积存入 answer 数组。
   • answer[i] = left，然后更新 left 为 left * nums[i]。

3. 计算右侧乘积并更新最终结果：

   • 从右到左遍历 nums，将每个位置的右侧所有元素的乘积乘以之前计算的左侧乘积。
   • answer[i] = answer[i] * right，然后更新 right 为 right * nums[i]。

代码实现

以下是基于上述思路的 Python 实现：

def productExceptSelf(nums):
    n = len(nums)
    answer = [1] * n
  
    # 计算左侧乘积
    left = 1
    for i in range(n):
        answer[i] = left
        left *= nums[i]
  
    # 计算右侧乘积并更新最终结果
    right = 1
    for i in range(n-1, -1, -1):
        answer[i] *= right
        right *= nums[i]
  
    return answer

解释

• 左侧乘积计算：我们用 left 来累计 nums 中每个元素左侧的乘积。在第一次遍历中，left 累计的是当前元素左边所有元素的乘积。
• 右侧乘积计算：类似的，right 用来累计 nums 中每个元素右侧的乘积。在第二次遍历中，right 累计的是当前元素右边所有元素的乘积。
• 最终结果：由于 answer[i] 初始存储的是左侧乘积，而后我们将其乘以右侧乘积，最终得到 nums[i] 之外所有元素的乘积。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)。我们对数组进行了两次遍历，因此时间复杂度为线性。
• 空间复杂度：O(1)（如果不考虑输出数组 answer 的空间）。我们仅用了常数级的额外空间来存储 left 和 right 的乘积，额外空间复杂度为常数级别。

思维导图

LeetCode 238 - 除自身以外数组的乘积
    1. 输入数组 nums
        1.1 计算左侧乘积
        1.2 计算右侧乘积
    2. 结果数组 answer
        2.1 存储每个元素的左侧乘积
        2.2 更新右侧乘积并与左侧乘积相乘
    3. 输出结果 answer

总结

这道题通过左右两次遍历，巧妙地解决了如何在 O(n) 时间复杂度内计算每个元素除外的数组乘积问题，避免了直接使用除法。通过前缀乘积和后缀乘积的组合，我们实现了所需的结果，同时保持了高效的空间利用和时间复杂度。